特異値分解の別形式

Wikipedia には載っていない特異値分解の別形式について以下にまとめておく。

$R$ を実数体として、行列 $A\in Mm,n®$ のランクを $r$ とすると、$A$ の SVD は以下のように定義される。

$$ A=U\Sigma V^{T} $$

$$ U \in Mm,n ® $$

$$ \Sigma \in Mr® $$

$$ V \in Mn,r® $$

$U, V$ の列ベクトルは互いに直交し、 $\Sigma$ は対角行列で以下により定義される。ただし、$ \sigma_1,\sigma_2,…,\sigma_r $ は特異値を表す。

$$ \Sigma = diag(\sigma_1,\sigma_2,…,\sigma_r), \sigma_1 \geq \sigma_2 \geq … \geq \sigma_r > 0 $$

特異値 $\sigma_k$ の左特異ベクトルを $u_k$、右特異ベクトルを $v_k$ とおくと、($ u_k \neq 0, v_k \neq 0 $)

$$ Av_k = \sigma_k u_k $$

$$ A^{T}u_k = \sigma_k v_k$$

である。

この時、

$$ A^{T}Av_k = \sigma_kA^{T}u_k = \sigma^{2}_kv_k $$

$$ AA^{T}u_k = \sigma_kA^{T}v_k = \sigma^{2}_ku_k $$

つまり、式の形から $\sigma_k$ は $AA^{T}$ の固有値の正の平方根で、$v_k$ は $A^{T}A$ の固有ベクトルで、$u_k$ は $AA^{T}$ の固有ベクトルであることが分かる。

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